16. Виды регрессионных моделей c одной входной переменной



Скачать 47.65 Kb.
Дата15.03.2018
Размер47.65 Kb.
Название файламатмод 16-20.docx

16. Виды регрессионных моделей c одной входной переменной

Если в результате расчета коэффициента корреляции rxy линейная модель признана недостаточно точной, переходят к исследованию более сложных моделей:степенной (y =b0xb1),экспоненциальной (y = exp(b0 +



b1

1

), полинома(y= b0 + b1x+ b2x2).

b1x)), обратной(y= b0 + x

или y =

 

b0 + b1x

Полином и обратные модели являются линейными по параметрам, поэтому для оценки их коэффициентов регрессии, корреляции и критерия адекватности можно использовать формулы

(5.10)  Коэффициент регрессииb1 определяется по формуле



 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(xi 

 

)( yi 

 

)

 

 

 

 

x

y

 

 

=

i=1

 

,




 

m

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(xi



 

)2

 

 

 

 

x

 

 

 

i=1






















,

(5.13) Коэффициент регрессии b0



b0 = ¯b.

(5.15) Адекватность регрессионной модели оценивается коэффициентом Фишера

 


m

 

 

 

 

 

 

 

∑(yˆi



 

)2

 

 

 

 

y

 

F

=

i=1

 

.

(5.15)

m

 

расч

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(yi

− yˆ)2

 

i=1

(5.16) Для оценки точности регрессионных моделей с одной входнойис-



пользуется выборочный коэффициент корреляции Пирсона (rxy), который определяется по формуле

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(xi-

 

)( yi -

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

rxy

=

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(5.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

m

 




 

 

 

∑(xi

-

 

)2 × ∑(yi

-

 

)2

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

Степенная и экспоненциальная модели требуют дополнительных преобразований в виде логарифмирования.



17. Регрессионные модели с несколькими входными переменными

( сюда входит 18.Многофакторная (множественная) линейная регрессия, 19.Матричный подход к определению коэффициентов регрессии, 20. Оценка адекватности и точности многофакторной линейной модели, 21. Линейные регрессионные модели с несколькими входными переменными, 22. Нелинейные регрессионные модели с несколькими входными переменными,23. Шаговые методы построения регрессионных моделей)



18.Многофакторная (множественная) линейная регрессия

Рассмотрим основы построения регрессионных моделей для объекта с несколькими входными переменными.

Факторы Х( i=1,2,3…k) – Исследования – Факторы Y

Объект исследования с несколькими входными факторами

Для построения модели необходимо иметь данные экспериментальных исследований объекта, представленные в виде таблицы, где каждой комбинации значений входных факторов соответствует значение выходного фактора.

Данные экспериментальных исследований объекта



Номер

 

 

 

 

 

экспери-

Х1

Х2



Xk

Y

мента

 

 

 

 

 

1

x11

x21



xk1

y1

2

x12

x22



xk2

y2

3

x13

x23



xk3

y3



 

 

 

 

 

m

x1m

x2m



xkm

ym

Моделирование объекта со сложным внешним воздействием в виде нескольких входных факторов, так же как и для объекта с одним входным фактором, начинается с линейной модели.

Если иметь неограниченно большое количество экспериментальных точек, то линейная регрессионная модель с несколькими входными переменными имеет вид


¯y =β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + … + βkxk ,

(6.1)

где x1,x2,x3 и т. д. – значения входной переменной; β0, β1, β2, …, βk – коэффициенты регрессии.

Имеющиеся экспериментальные данные в виде комбинаций (х1i,x2i,x3i,… x ki,yi) являются лишь ограниченной выборкой из общего числа состояний исследуемого объекта. Поэтому можно определить только оценки коэффициентов β0, β1, β2, …, которые обозначают, соответственно,b0,b1,b2,b3, …,bk.



¯y =b0 +b1x1 +b2x2 +b3x3 + … +bkxk .

(6.2)

Такие модели в литературе часто называют многофакторными моделями. Однако определить коэффициенты регрессииbi так, как это делается для однофакторной модели – по методу наименьших квадратов, в данном случае не представляется возможным. Необходимо использовать основы алгебры матриц и матричного исчисления.

19.Матричный подход к определению коэффициентов регрессии

Запишем для нашего случая матрицы X,Y,B:



 

1

x11

x21

x31

...

xk1

 

 

 

1

x

x

x

...

x

 

 

 

 

12

22

32

 

k 2

 

 

X = 1

x

x

x

...

x

.

(6.3)

 

 

13

23

33

 

k 3

 

 

... ...

...

...

... ...

 

 

 

1

x

x

x

...

x

 

 

 

 

1m

2m

3m

 

km

 

В матрице X все элементы первого столбика равны единице. Будем считать это фиктивной входной переменнойX0 с постоянным значением.

y1y2


Y= y3 ,...

ym

b0b1



B =b2 . (6.4)

...bk


Определим размерность этих матриц:

●Y – вектор наблюдений (m · 1);

●X – матрица независимых переменных (m(k + 1));

●В – вектор коэффициентов регрессии ((k + 1) · 1).

Правила умножения матриц и векторов требуют, чтобы они были согласованными и имели соответствующую размерность [9, 12].

Пусть А – матрица размерностью (n ·p):

● на матрицуА только слева может быть умножена матрицаВ размерностью (m ·n):


B ·A = (m ·n ·n ·p) =C(m ·p);

(6.5)

● на матрицуА только справа может быть умножена матрицаD размерностью (p ·q):

A ·C = (n ·p ·p ·q) =F(n ·q).

(6.6)

Следовательно, произведение В ·Х не существует и множественная линейная регрессия может быть записана в виде

Y = X· B.

(6.7)

Использование аппарата линейной алгебры позволяет получить общую формулу для определения вектора, содержащего коэффициенты регрессии [9]:

B = (X' ·X)–1 =X' ·Y,

(6.8)

где (X' ·X)–1 – обратная матрица;

X' – транспонированная матрица.



Определением коэффициентов регрессионной модели построение модели не заканчивается. Необходимо также определить адекватность и точность предлагаемой многофакторной модели.

20. Оценка адекватности и точности многофакторной линейной модели

Адекватность модели характеризует соответствие модели экспериментальным данным и статистическую значимость уравнения регрессии. Адекватность регрессионной модели оценивается коэффициентом Фишера



 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

∑(yˆi



 

)2

 

 

 

 

y

 

F

=

i=1

 

.

(6.9)

m

 

расч

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(yi

− yˆi )2

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

Расчетное значение коэффициента (Fрасч) необходимо сравнить с таб-

личным значением (Fтабл(m, α)),

где m – общее количество эксперимен-

тальных наблюдений, α – уровень значимости.

 

α – уровень значимости – вероятность, с которой правильная гипотеза о модели может быть отвергнута как неправильная. Обычно в моделировании (и мы об этом уже говорили) используют значения α = 0,05; 0,01. Однако для многофакторных моделей табличное значениеF-критериязависит еще и от числа входных переменных [9].

Если Fрасч >Fтабл, то модель считается адекватной, а регрессия статистически значимой. Если Fрасч < Fтабл, то регрессионная модель неадекватна и регрессия статистически незначима.



Для оценки точности регрессионных моделей с несколькими входными переменными используется множественный коэффициент корреляции (R2) [4], который определяется по формуле

 

m

 

 

 

 

 

 

 

∑(yˆi



 

)2

 

 

 

y

 

R2=

i=1

 

.

(6.10)

m

 

 

∑(yi



yi)2

 

i=1

Отношение R2 характеризует тесноту связи между выходной переменной и входными переменными. Область определения отношенияR2 лежит в пределах от 0 до 1. ПриR2 = 0 выходной фактор y линейно не зависит от входных факторов x1,x2, …,xk – можно сказать, что корреляционная связь между выходным фактором и входными факторами отсутствует. ПриR2 = 1 выходной факторy линейно зависит от входных факторовx1,x2, …,xk – имеется в наличии сильная корреляционная связь. Чем выше значениеR2, тем теснее связь в модели между выходной переменной (фактором) и входными переменными (факторами), тем точнее, а следовательно, лучше математическая модель. Если модель имеет низкое значениеR2, то она имеет низкую точность оценки и предсказания поведения или свойств объекта. Использовать такую модель для исследования, описания и предсказания объекта не рекомендуется. Из нескольких моделей для исследования выбирается та, у которой отношениеR2 имеет наибольшее значение.

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©coolnew.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница
Контрольная работа
Курсовая работа
Теоретические основы
Лабораторная работа
Общая характеристика
Методические указания
Теоретические аспекты
Рабочая программа
Дипломная работа
Методические рекомендации
Пояснительная записка
Федеральное государственное
Практическая работа
История развития
Основная часть
Теоретическая часть
государственное бюджетное
Общие сведения
Физическая культура
Направление подготовки
Самостоятельная работа
Методическая разработка
История возникновения
Краткая характеристика
Выпускная квалификационная
квалификационная работа
Практическое задание
бюджетное учреждение
Гражданское право
государственное образовательное
Название дисциплины
образовательное бюджетное
Общие положения
Российская академия
Учебное пособие
Понятие сущность
теоретические основы
история возникновения
Современное состояние
Общая часть
Финансовое планирование
образовательная организация
прохождении учебной
Техническое задание
Правовое регулирование
организация высшего
История болезни
Автономная некоммерческая
Конституционное право
некоммерческая образовательная
академия государственной